ECUACIONES 2do GRADO.

ECUACIONES   2do  GRADO.        EJERCICIOS  y  PROBLEMAS.

1-      Resuelve las siguientes ecuaciones:

a)      x² + x -2 = 0

b)      2x² -20x +50 = 0

c)       -7x +2x² +3 = 0

d)       5x² -5 =0

e)      3x² -2x =0

2-      Halla dos números sabiendo que el primero es 12 unidades mayor que el segundo; pero que, si restáramos 3 unidades a cada uno de ellos, el primero sería el doble del segundo.

3-      Halla los lados de un rectángulo, sabiendo que la base es 5 unidades mayor que el doble de la altura, y que su área es de 33 cm².

4-      Dos ciudades, A y B, distan 120 km. De la ciudad A sale un autobús hacia B a una velocidad de 70 km/h. Al mismo tiempo, sale un coche de B hacia A, a  una velocidad de 90 km/h. Calcula el tiempo que tardan en encontrarse y a qué distancia de A se produce el encuentro. Recuerda que:    espacio = velocidad por  tiempo.

5-      Si a la mitad de un número le restas su tercera parte, y, a este resultado, le sumas 85/2, obtienes el triple del número inicial. ¿De qué número se trata?

6-      Halla un número entero sabiendo que si multiplicamos su anterior por su siguiente, obtenemos 360.

7-      El lado de un rombo mide 10 cm y una diagonal mide 4 cm más que la otra. Halla el área del rombo.

8-      Halla tres números pares consecutivos, sabiendo que el tercero más el triple del primero excede en 20 unidades al segundo.

9-      Halla las dimensiones de un rectángulo, sabiendo que la base mide 3 cm más que la altura y que la diagonal mide 15 cm.

NOTA: Si necesitas ayuda para resolver dichas actividades, consulta a tu docente o envía tu interrogante en comentarios para que se agreguen las respuestas que estás necesitando. Suerte!!

REGLA de TRES - PROPORCIONES - PORCENTAJES.

Problemas de repartos, reglas de Tres, proporciones y porcentajes.

1- Ana compra 5 kg de patatas, si 2 kg cuestan 0.80 €, ¿cuánto pagará Ana?

2- 3 obreros construyen un muro en 12 horas, ¿cuánto tardarán en construirlo 6 obreros?

3- 11 obreros labran un campo rectangular de 220 m de largo y 48 de ancho en 6 días. ¿Cuántos obreros serán necesarios para labrar otro campo análogo de 300 m de largo por 56 m de ancho en cinco días?

4- Seis grifos, tardan 10 horas en llenar un depósito de 400 m³ de capacidad. ¿Cuántas horas tardarán cuatro grifos en llenar 2 depósitos de 500 m³ cada uno?

5- El precio de un ordenador es de 1200 € sin IVA. ¿Cuánto hay que pagar por él si el IVA es del 16%?

6- Al comprar un monitor que cuesta 450 € nos hacen un descuento del 8%. ¿Cuánto tenemos que pagar?

7- Se asocian tres individuos aportando 5000, 7500 y 9000 €. Al cabo de un año han ganado 6 450 €. ¿Qué cantidad corresponde a cada uno si hacen un reparto directamente proporcional a los capitales aportados?

8- Se reparte una cantidad de dinero, entre tres personas, directamente proporcional a 3, 5 y 7. Sabiendo que a la segunda le corresponde 735 €. Hallar lo que le corresponde a la primera y tercera.

9- Repartir 420 €, entre tres niños en partes inversamente proporcionales a sus edades, que son 3, 5 y 6.

10- ¿Qué número decimal corresponde a cada uno de estos porcentajes? 33% 7% 5,4% 145%.

11- Calcula el 7% de 5 420.

12- Calcula el tanto por ciento que representa 78 de 125.

Si necesitas respuestas de las propuestas, consulta a tu docente ó escribe en comentarios para colocar las respuestas de este tema u otro tema que se haya publicado. Suerte!!!!!!!!!!

NÚMEROS REALES OPERATORIA

 

Se presentan una serie de situaciones problemáticas donde debes resolver aplicando la operatoria con números Reales.

1-    Calcula qué fracción de la unidad representa:                                                  a) La mitad de la mitad.                                                                                                 b) La mitad de la tercera parte.                                                                                               c) La tercera parte de la mitad.                                                                                                   d) La mitad de la cuarta parte.

2-    Dos automóviles A y B hacen un mismo trayecto de 572 km. El automóvil A l leva recorridos los 5/11 del trayecto cuando el B ha recorrido los 8/13 del mismo. ¿Cuál de los dos va primero? ¿Cuántos kilómetros l leva recorridos cada uno?

3-    Hace unos años Pedro tenía 24 años, que represen tan los 2/3 de su edad actual. ¿Qué edad tiene Pedro?   

 

4-      En las elecciones locales celebradas en un pueblo, 3/11 de los votos fueron para el partido A, 5/10 para el partido B, 5/14 para C y el resto para el partido D. El total de votos ha s ido de 15.400. Calcular:                 

                                                                                                                                 1- El número de votos obtenidos por cada partido.                                              2-El número de abstenciones sabiendo que el número de votantes representa 5/8 del censo electoral.

5-    Un  padre  reparte  entre  sus  hijos  1800 €. Al mayor le da 4 / 9 de esa cantidad, al mediano 1/3 y a l menor el resto. ¿Qué cantidad recibió cada uno? ¿Qué fracción del dinero recibió el tercero?

6-    Escribe en forma decimal  3/7  y  9/11.

Justifica, previamente, si el decimal va a ser exacto o periódico.

7-    Escribe en notación científica los siguientes números:                                         a)125100000000.                                                                                                                        b) La décima parte de una diezmilésima.

8-    Expresa en notación científica:                                                                               a) La velocidad de la luz es de trescientos millones de metros por segundo.      b) El virus de la gripe tiene un diámetro en mm de cinco cienmilésimas.          c) En la Vía Láctea hay aproximadamente ciento veinte mil millones de estrellas.

GEOMETRÍA ANALÍTICA en el PLANO 2do BACH.

REPARTIDO Nº1

1-Halla la ecuación explícita de una recta cuya pendiente es m = -3 y que pasa por P (1, 1).

2-Halla  la  ecuación  de la recta que pasa por los puntos A (0, 1) y B (3, -2).

3-Determina  la ecuación  general de la recta  paralela a r) 5x - y +1 = 0, que pasa por P (2, 0).

4-Calcula  las coordenadas de los vértices  de un paralelogramo cuyos lados están sobre las rectas:

            r)  y = 1

            s) y = 3

            t) 2x+ y = 0

            u) 2x + y = 5

5-Halla la ecuación  explícita de la recta que pasa por P (-2, 1) y  es  perpendicular a  r)  x - 2y + 1= 0.

6-Determina si son perpendiculares entre sí los siguientes pares de rectas:

a) r) 2x - y +1 = 0,      s) x + 2y +16 = 0

b) r) 7x + y - 2 = 0,     s) x + 7y + 5 = 0

c) r) x - 2y + 3 = 0,    s) 4x +2y -3 = 0

7-Determina  la  ecuación de la circunferencia  de  centro C (1, 2) y radio r =3.

8-Determina el centro y el radio de la circunferencia x² + y² - 2x + 4y -4 = 0.

9 -Averigua el punto simétrico de A (5, -1) con respecto a B (4, -2).

10- Halla  el  punto  medio  del  segmento de extremos A (5, -1) y B (4, -2).

11-Considera los puntos A (-1, 3), B (2, 6) y C (x, y). Halla los valores de x e y para que C sea:

            a) El punto medio del segmento de extremos A y B.

            b) El simétrico de A con respecto a B.

12- El punto medio del segmento AB es M (2, -1). Halla las coordenadas de A, sabiendo que   B (-3, 2).

13- Dados los puntos A (2, -3), B (-1, 4) y C(x, 3), determina el valor de x para que A, B y C estén alineados.

14- Halla las coordenadas del vértice D del paralelogramo ABCD, sabiendo que A (-1, -2), B (3, 1) y            C (1, 3).

 15-Halla las coordenadas del baricentro del triángulo de vértices A (2, -3), B (4, 1)  y  C(-1, 2).

SOLUCIONES. Repartido Nº 1 Geometría Analítica en el Plano.

Soluciones Repartido Nº 1 Geometría Analítica en el Plano.

1-      1- y = - 3x + n; como P(1, 1) pertenece a la recta,

              1 = -3 · 1 + n, n = 4 y  la ecuación es:        y= -3x +4.

2-   2-   (x –x₂) (y – y₁)= (x – x₁) ( y – y₂ )

               (x- 3) (y – 1 ) = (x – 0) (y + 2)

                xy  - x – 3y + 3 = xy + 2x       aplicamos prop. cancelativa  a  xy, entonces:

                        -3y = 2x + x – 3

                          - 3y = 3x – 3

                              y = -x +1

3-      3-La  ecuación es   5x -y + C =0, y como P (2, 0) pertenece a la recta:                     5 (2) - 0 + C =0,    C = -10,      luego la ecuación es:    5x - y -10 = 0.

4-   4-   Los vértices son: A (1, 1), B (0, 1), C (0, 3) y D (1, 3), que resultan  de cortar, respectivamente, r y t;   s y t;   r y u;  s y u.

5-     5- Para obtener la ecuación de la recta perpendicular a la recta x – 2y +1 = 0  y que pase por el punto         P ( -2, 1), debo realizar:

                                                           -2y = -x -1   al despejar  y  obtengo         y = x/2 +1/2

                        La  recta perpendicular, se escribe  y = -2x +n,  sustituyendo  las coordenadas del punto P en ella:                      1 = -2(-2) +n

                                                1 = 4  +n

                                             1 – 4 = n

                                                 -3 = n   =>  y= -2x - 3

6- Recordar que para que dos rectas sean perpendiculares, sus pendientes deben ser opuestas e inversas, entonces:   2x-y+1=0    => y = 2x +1 

                                                  x +2y +16 =0  =>  y = -1/2 x -8  por lo tanto son perpendiculares.

                        7x +y – 2 =0 =>  y = - 7x + 2

                        X +7y + 5 = 0    =>  y = - x/7 – 5/7   por lo tanto no son perpendiculares.

  x -2y +3 =0   =>  y = x/2 + 3/2

  4x +2y  +5 = 0   =>  y = -2x + 3/2    entonces  son perpendiculares.

7- Sabemos que la ecuación de la circunferencia es x² + y² +ax +by + c =0      y   que: a = -2α                                                                                                                                          b = -2β               y        c = α² + β² – r², resolviendo obtengo que: a = -2     b = -4   y   c = -4.

 Sustituyendo obtengo la ecuación de la circunferencia:   x² + y²  - 2x - 4y - 4 =0.

8- Como las coordenadas del centro es C (α, β) y  además sabemos que:             a =-2α     por lo que α= 1 ya que en la ecuación de la circunferencia  x² + y² -2x +4y -4 =0,             α = a/-2   , de igual manera se trabaja para hallar β, donde β = -2, por lo que  C (1, -2).

Para hallar el radio, aplico    c = α² +β² – r²    sustituyendo:

                                          -4 = 1² + (-2)² – r²

                                         -4 = 1 +4 –r²

                                   -4 -1 -4 = -r²

                                         -9 = -r²   entonces:  9 = r²   entonces:  √9 = r  entonces: 3 = r

 Respuesta: centro C (1, -2)    y  el  radio r = 3

9 -Llamamos A'(x, y) al simétrico de A con respecto a B. El punto B es el punto medio del segmento que une  A con A'. Entonces: (x+5)/2   = 4  => X = 3

                                  (y-1)/2   = -2    =>  y = -3    entonces  A' (3, -3).

10-   El punto medio es (5+4)/2   = 9/2                                                                                                                                                          (  -1-2)/2   = -3/2    por lo que    las coordenadas del punto medio es               M (9/2, -3/2)  

11-  a) El punto medio es: (-1+2)/2  = 1/2         ( 3+6)/2  = 9/2          =>   M (1/2, 9/2).

          b) B será el punto medio del segmento que une A con C, entonces:

             abscisa   (-1+x)/2 = 2      =>  x= 5

            ordenada   (3+y)/2 = 6     =>   y = 9             C ( 5, 9 )  

   

Nota: Los valores  utilizados para hallar las coordenadas  de  C, son   las coordenadas  del  punto  B.

12-   Si  llamamos  A (x, y), tenemos que: AM = MB     ,  es decir:

               (2-x, -1-y) = (-3-2, 2-(-1))       

               (2-x, -1-y) = (-5, 3)

               2-x = -5   => x = 7

             -1-y = 3   =>  y = -4   por lo tanto A (7, -4).

13- Para  que  los  tres  puntos  estén  alineados, las coordenadas de AB y de BC  han  de  ser  proporcionales:

AB = (-3, 7)

BC = (x+1, -1)   =>  -3/(x+1) = 7/-1 =>  3 = 7x +7 => x = -4/7.

14-

Llamamos  D el cuarto vértice del paralelogramo, donde       AB = CD, además AB//CD.

CB = AD y también CB// AD,  observando el gráfico D (-3, 0).

Puedes además hallar las coordenadas del punto C, hallando las ecuaciones de las rectas que determinan los puntos A y B; luego B y C. Conociendo dichas rectas, puedes determinar la ecuación de la recta paralela a AB que pasa por el punto C, la recta de la ecuación paralela a la recta CB que pasa por A y con ambas ecuaciones de las rectas formamos  un sistema de ecuaciones. Los valores que se obtienen para x  y  para y,  son las coordenadas del punto D.

15- Para resolver este ejercicio, debemos recordar que la intersección de las medianas de un triángulo, determinan un punto, llamado  BARICENTRO ó  CENTRO de GRAVEDAD  

  del triángulo. Para  trazar una Mediana, se debe determinar el punto medio E del lado BC, y trazar el segmento  hasta A (vértice opuesto a ese lado). Igual procedimiento para trazar la mediana DB. Determina las ecuaciones  de  la recta  que  contienen las medianas EA y  DB. Con ambas ecuaciones de la recta, formamos  un sistema de ecuaciones, cuya solución serán las coordenadas del  baricentro, llamándole  G a dicho punto.            Respuesta: G (5/3, 0).