SOLUCIONES. Repartido Nº 1 Geometría Analítica en el Plano.

Soluciones Repartido Nº 1 Geometría Analítica en el Plano.

1-      1- y = - 3x + n; como P(1, 1) pertenece a la recta,

              1 = -3 · 1 + n, n = 4 y  la ecuación es:        y= -3x +4.

2-   2-   (x –x₂) (y – y₁)= (x – x₁) ( y – y₂ )

               (x- 3) (y – 1 ) = (x – 0) (y + 2)

                xy  - x – 3y + 3 = xy + 2x       aplicamos prop. cancelativa  a  xy, entonces:

                        -3y = 2x + x – 3

                          - 3y = 3x – 3

                              y = -x +1

3-      3-La  ecuación es   5x -y + C =0, y como P (2, 0) pertenece a la recta:                     5 (2) - 0 + C =0,    C = -10,      luego la ecuación es:    5x - y -10 = 0.

4-   4-   Los vértices son: A (1, 1), B (0, 1), C (0, 3) y D (1, 3), que resultan  de cortar, respectivamente, r y t;   s y t;   r y u;  s y u.

5-     5- Para obtener la ecuación de la recta perpendicular a la recta x – 2y +1 = 0  y que pase por el punto         P ( -2, 1), debo realizar:

                                                           -2y = -x -1   al despejar  y  obtengo         y = x/2 +1/2

                        La  recta perpendicular, se escribe  y = -2x +n,  sustituyendo  las coordenadas del punto P en ella:                      1 = -2(-2) +n

                                                1 = 4  +n

                                             1 – 4 = n

                                                 -3 = n   =>  y= -2x - 3

6- Recordar que para que dos rectas sean perpendiculares, sus pendientes deben ser opuestas e inversas, entonces:   2x-y+1=0    => y = 2x +1 

                                                  x +2y +16 =0  =>  y = -1/2 x -8  por lo tanto son perpendiculares.

                        7x +y – 2 =0 =>  y = - 7x + 2

                        X +7y + 5 = 0    =>  y = - x/7 – 5/7   por lo tanto no son perpendiculares.

  x -2y +3 =0   =>  y = x/2 + 3/2

  4x +2y  +5 = 0   =>  y = -2x + 3/2    entonces  son perpendiculares.

7- Sabemos que la ecuación de la circunferencia es x² + y² +ax +by + c =0      y   que: a = -2α                                                                                                                                          b = -2β               y        c = α² + β² – r², resolviendo obtengo que: a = -2     b = -4   y   c = -4.

 Sustituyendo obtengo la ecuación de la circunferencia:   x² + y²  - 2x - 4y - 4 =0.

8- Como las coordenadas del centro es C (α, β) y  además sabemos que:             a =-2α     por lo que α= 1 ya que en la ecuación de la circunferencia  x² + y² -2x +4y -4 =0,             α = a/-2   , de igual manera se trabaja para hallar β, donde β = -2, por lo que  C (1, -2).

Para hallar el radio, aplico    c = α² +β² – r²    sustituyendo:

                                          -4 = 1² + (-2)² – r²

                                         -4 = 1 +4 –r²

                                   -4 -1 -4 = -r²

                                         -9 = -r²   entonces:  9 = r²   entonces:  √9 = r  entonces: 3 = r

 Respuesta: centro C (1, -2)    y  el  radio r = 3

9 -Llamamos A'(x, y) al simétrico de A con respecto a B. El punto B es el punto medio del segmento que une  A con A'. Entonces: (x+5)/2   = 4  => X = 3

                                  (y-1)/2   = -2    =>  y = -3    entonces  A' (3, -3).

10-   El punto medio es (5+4)/2   = 9/2                                                                                                                                                          (  -1-2)/2   = -3/2    por lo que    las coordenadas del punto medio es               M (9/2, -3/2)  

11-  a) El punto medio es: (-1+2)/2  = 1/2         ( 3+6)/2  = 9/2          =>   M (1/2, 9/2).

          b) B será el punto medio del segmento que une A con C, entonces:

             abscisa   (-1+x)/2 = 2      =>  x= 5

            ordenada   (3+y)/2 = 6     =>   y = 9             C ( 5, 9 )  

   

Nota: Los valores  utilizados para hallar las coordenadas  de  C, son   las coordenadas  del  punto  B.

12-   Si  llamamos  A (x, y), tenemos que: AM = MB     ,  es decir:

               (2-x, -1-y) = (-3-2, 2-(-1))       

               (2-x, -1-y) = (-5, 3)

               2-x = -5   => x = 7

             -1-y = 3   =>  y = -4   por lo tanto A (7, -4).

13- Para  que  los  tres  puntos  estén  alineados, las coordenadas de AB y de BC  han  de  ser  proporcionales:

AB = (-3, 7)

BC = (x+1, -1)   =>  -3/(x+1) = 7/-1 =>  3 = 7x +7 => x = -4/7.

14-

Llamamos  D el cuarto vértice del paralelogramo, donde       AB = CD, además AB//CD.

CB = AD y también CB// AD,  observando el gráfico D (-3, 0).

Puedes además hallar las coordenadas del punto C, hallando las ecuaciones de las rectas que determinan los puntos A y B; luego B y C. Conociendo dichas rectas, puedes determinar la ecuación de la recta paralela a AB que pasa por el punto C, la recta de la ecuación paralela a la recta CB que pasa por A y con ambas ecuaciones de las rectas formamos  un sistema de ecuaciones. Los valores que se obtienen para x  y  para y,  son las coordenadas del punto D.

15- Para resolver este ejercicio, debemos recordar que la intersección de las medianas de un triángulo, determinan un punto, llamado  BARICENTRO ó  CENTRO de GRAVEDAD  

  del triángulo. Para  trazar una Mediana, se debe determinar el punto medio E del lado BC, y trazar el segmento  hasta A (vértice opuesto a ese lado). Igual procedimiento para trazar la mediana DB. Determina las ecuaciones  de  la recta  que  contienen las medianas EA y  DB. Con ambas ecuaciones de la recta, formamos  un sistema de ecuaciones, cuya solución serán las coordenadas del  baricentro, llamándole  G a dicho punto.            Respuesta: G (5/3, 0).