Recuerda que la Matemática tiene un por qué de su existencia y si observas con atención estos materiales, te ayudarán a comprender mejor la asignatura y porque no, a que te comience a interesar y quizás a encontrar en ella lo que no has descubierto aún.
sábado, 16 de abril de 2011
ALGEBRA. SU HISTORIA
Otro de los temas que nuestros alumnos se preguntan, ¿por qué utilizamos álgebra ?. Te acerco este video para que te ayude a encontrar esa y otras respuestas a las tantas preguntas que siempre nos hacen. Estaría bueno que lo comentes con tus compañeros y con tu docente, cuando comiencen a trabajar el tema.
Recuerda que la Matemática tiene un por qué de su existencia y si observas con atención estos materiales, te ayudarán a comprender mejor la asignatura y porque no, a que te comience a interesar y quizás a encontrar en ella lo que no has descubierto aún.
Recuerda que la Matemática tiene un por qué de su existencia y si observas con atención estos materiales, te ayudarán a comprender mejor la asignatura y porque no, a que te comience a interesar y quizás a encontrar en ella lo que no has descubierto aún.
jueves, 17 de marzo de 2011
LA HISTORIA del 1.
Te estoy acercando un material "La Historia del 1".Es importante ver como surgieron nuestros números, nos ayuda a poder comprender un poco más la Matemática.
Como puedes apreciar verás como y cuando tuvieron la necesidad de crear el número uno, y que a medida que avanzamos en la historia hasta nuestros días, es un número importante, ya que tuvo su participación en la creación de la nueva tecnología, la computación.Observa estos videos, saca tus propias conclusiones, coméntalos con tú docente y compañeros
PITÁGORAS y EL 1
Pitágoras, matemático y filósofo griego. Lo que logró, lo que no pudo pero si sus discípulos. El "1",¿ fue un problema para Pitágoras? Observa el video y saca tus propias conclusiones.
sábado, 12 de marzo de 2011
SOLUCIONES: Para Alumnos de 1ro Bach. Febrero 2011
SOLUCIONES:
1- Construye el triángulo ABC.
Para su construcción debes aplicar Arco Capaz, ya que se conoce un lado y el ángulo opuesto. Procedimiento:
a- Trazo segmento AB = 6 cm.
b- Construyo mediatriz del segmento AB.
c- En uno de los extremos del segmento trazo el ángulo C = 70º y en uno de los dos semiplanos que determina el segmento AB.
d- Trazo la perpendicular desde el vértice del ángulo hasta que se interseque con la mediatriz del segmento AB, para de esa forma determinar el centro del arco capaz, llamando a ese punto O.
e- Trazo el arco de centro O y radio OA = OB, quedando determinado el arco en el semiplano opuesto al que trazó el ángulo.(Cuando el ángulo es agudo,el centro del arco se encuentra en el semiplano opuesto al que se trazó el ángulo; si fuese recto, los arcos son iguales y si es obtuso, el centro del arco queda ubicado en el semiplano en que se trazó el ángulo y el arco siempre en el semiplano opuesto).
f- Por definición de Arco Capaz, todos sus puntos con los extremos del segmento determinan un ángulo de 70º.
g- Como se conoce la medida del lado BC = 4 cm, trazamos dicho segmento con el compás,determinando el vértice C del triángulo correspondiente.
h- Trazo el triángulo ABC y defino mediatriz como Lugar Geométrico.
2- Tengo una función cuadrática, donde debo calcular sus raíces; para ello, igualo a cero la función y aplico la fórmula de Baskara, donde se obtienen los valores: 5 y -1.
Se debe calcular las coordenadas de la ordenada en el origen, se calcula f(0), obteniéndose +10, por lo que las coordenadas son ( 0; 10).
Coordenadas del vértice, debo aplicar Xv = -b/ 2a, siendo Xv = +2
calculo f(2), obteniendo que f(2) = +18, por lo tanto las coordenadas del vértice son (2; 18).
Esquema del signo: --------/+++++++++/---------------> podemos apreciar que los valores de la
-1 5
imagen mayores que 5 son negativos, los menores que -1 son negativos y los valores comprendidos entre -1 y 5 son positivos.( El color rojo negativo y el azul positivo).
Aquí puedes observar como queda la gráfica de la función.
3- En este ejercicio se te dan datos, donde debes reconocer que -2 y 5 , son raíces de una función cuadrática y que 10 es la ordenada en el origen.
Por lo tanto: f(-2) = 0 ==> f(-2) = 4a -2b +c
4a -2b +c = 0 , pero como c=10 ==> 4a -2b = -10
f(5) = 0 ==> f(5) = 25a +5b +c
25a +5b +c =0, pero como c= 10 ==> 25a +5b = -10
Con ambas ecuaciones formas un sistema de ecuaciones de 1er grado con dos incógnitas, obteniéndose los valores: a = -1 y b = 3 ,donde puedes escribir la función cuadrática f(x) = -x2 +3x +10.
Para calcular las coordenadas del máximo debes aplicar las fórmulas Xv = -b/2a y f(Xv) , donde se obtienen los valores 3/2 y 49/4 , respectivamente. Entonces las coordenadas del máximo son: (3/2; 49/4).
4- Para realizar el estudio de la función racional, debes estudiar el dominio de f(x), es decir, hallar el cero del denominador, lo que significa que para ese valor la función no existe, debido que no existe un cociente cuando el denominador es cero. Una vez realizado el cálculo, se obtiene que x es distinto de 2, por lo que debo escribir D(f) = R -{2}.
Luego debes calcular el cero de la función, es decir, hallar el cero del numerador, lo que significa que para ese valor la función racional, toma el valor cero.Una vez que realizaste el cálculo, obtienes x = -5/2.
Realiza el estudio del signo para f(x) ++++++++I-------------I++++++++++>
-5/2 2
Debemos calcular las coordenadas correspondientes a las asíntotas: * vertical = dominio => (2; 0).
* horizontal = a/c => (0; 2).
Por último debemos escribir las coordenadas del punto de corte con el eje Oy => (0;-5/2), para luego realizar el gráfico.
Observando el gráfico ubica en él los datos que has hallado.
5- En este ejercicio debes aplicar Teorema de los Senos. De acuerdo al teorema debes escribir: a/ sen A = b/ sen B = c/ sen C.
Entonces: AB/ sen 78º = 60/ sen 36º ==> AB = 99,84 cm.
BC/ sen[ 180º-( 78º + 36º) = 60º/ sen 36º ===> BC = 93,25 cm.
1- Construye el triángulo ABC.
Para su construcción debes aplicar Arco Capaz, ya que se conoce un lado y el ángulo opuesto. Procedimiento:
a- Trazo segmento AB = 6 cm.
b- Construyo mediatriz del segmento AB.
c- En uno de los extremos del segmento trazo el ángulo C = 70º y en uno de los dos semiplanos que determina el segmento AB.
d- Trazo la perpendicular desde el vértice del ángulo hasta que se interseque con la mediatriz del segmento AB, para de esa forma determinar el centro del arco capaz, llamando a ese punto O.
e- Trazo el arco de centro O y radio OA = OB, quedando determinado el arco en el semiplano opuesto al que trazó el ángulo.(Cuando el ángulo es agudo,el centro del arco se encuentra en el semiplano opuesto al que se trazó el ángulo; si fuese recto, los arcos son iguales y si es obtuso, el centro del arco queda ubicado en el semiplano en que se trazó el ángulo y el arco siempre en el semiplano opuesto).
f- Por definición de Arco Capaz, todos sus puntos con los extremos del segmento determinan un ángulo de 70º.
g- Como se conoce la medida del lado BC = 4 cm, trazamos dicho segmento con el compás,determinando el vértice C del triángulo correspondiente.
h- Trazo el triángulo ABC y defino mediatriz como Lugar Geométrico.
2- Tengo una función cuadrática, donde debo calcular sus raíces; para ello, igualo a cero la función y aplico la fórmula de Baskara, donde se obtienen los valores: 5 y -1.
Se debe calcular las coordenadas de la ordenada en el origen, se calcula f(0), obteniéndose +10, por lo que las coordenadas son ( 0; 10).
Coordenadas del vértice, debo aplicar Xv = -b/ 2a, siendo Xv = +2
calculo f(2), obteniendo que f(2) = +18, por lo tanto las coordenadas del vértice son (2; 18).
Esquema del signo: --------/+++++++++/---------------> podemos apreciar que los valores de la
-1 5
imagen mayores que 5 son negativos, los menores que -1 son negativos y los valores comprendidos entre -1 y 5 son positivos.( El color rojo negativo y el azul positivo).
Aquí puedes observar como queda la gráfica de la función.
3- En este ejercicio se te dan datos, donde debes reconocer que -2 y 5 , son raíces de una función cuadrática y que 10 es la ordenada en el origen.
Por lo tanto: f(-2) = 0 ==> f(-2) = 4a -2b +c
4a -2b +c = 0 , pero como c=10 ==> 4a -2b = -10
f(5) = 0 ==> f(5) = 25a +5b +c
25a +5b +c =0, pero como c= 10 ==> 25a +5b = -10
Con ambas ecuaciones formas un sistema de ecuaciones de 1er grado con dos incógnitas, obteniéndose los valores: a = -1 y b = 3 ,donde puedes escribir la función cuadrática f(x) = -x2 +3x +10.
Para calcular las coordenadas del máximo debes aplicar las fórmulas Xv = -b/2a y f(Xv) , donde se obtienen los valores 3/2 y 49/4 , respectivamente. Entonces las coordenadas del máximo son: (3/2; 49/4).
4- Para realizar el estudio de la función racional, debes estudiar el dominio de f(x), es decir, hallar el cero del denominador, lo que significa que para ese valor la función no existe, debido que no existe un cociente cuando el denominador es cero. Una vez realizado el cálculo, se obtiene que x es distinto de 2, por lo que debo escribir D(f) = R -{2}.
Luego debes calcular el cero de la función, es decir, hallar el cero del numerador, lo que significa que para ese valor la función racional, toma el valor cero.Una vez que realizaste el cálculo, obtienes x = -5/2.
Realiza el estudio del signo para f(x) ++++++++I-------------I++++++++++>
-5/2 2
Debemos calcular las coordenadas correspondientes a las asíntotas: * vertical = dominio => (2; 0).
* horizontal = a/c => (0; 2).
Por último debemos escribir las coordenadas del punto de corte con el eje Oy => (0;-5/2), para luego realizar el gráfico.
Observando el gráfico ubica en él los datos que has hallado.
5- En este ejercicio debes aplicar Teorema de los Senos. De acuerdo al teorema debes escribir: a/ sen A = b/ sen B = c/ sen C.
Entonces: AB/ sen 78º = 60/ sen 36º ==> AB = 99,84 cm.
BC/ sen[ 180º-( 78º + 36º) = 60º/ sen 36º ===> BC = 93,25 cm.
sábado, 29 de enero de 2011
LÍMITE DE UNA FUNCIÓN
Siempre cuando se presenta un nuevo tema, la pregunta que surge entre nuestros alumnos es:
¿Qué aplicaciones tiene el tema? ¿Se aplica en hechos cotidianos?
¿Qué aplicaciones tiene el tema? ¿Se aplica en hechos cotidianos?
Son las preguntas de nuestros alumnos, pregunta que según sea la respuesta, el tema se aprende mejor o no. Para ello les voy a presentar una serie de situaciones donde vamos a aplicar el tema, pero recuerden que estos ejemplos se consiguen en libros,pero para nuestros alumnos, este medio puede ser más accesible y más rápido para encontrar las respuestas que siempre están buscando.
1- El precio en euros de x litros de aceite viene dado por la función: 
a) Determina el valor de la constante a para que la función f(x) sea continua.
b) ¿A cuánto sale el litro si se compran 15, 20, 50 y 100 litros?
c) Si se comprasen muchísimos litros de aceite, ¿a cuánto saldría aproximadamente el precio de cada litro?
RESPUESTAS:
a) El único punto que plantea problemas de continuidad es x = 20, que es el valor que marca la posible diferencia de precios. Para que sea continua, debe cumplirse que los límites laterales coincidan en dicho punto con P (20) = 60. Por la izquierda:
b) El costo de 15 litros es P (15) = 3.5 P(15)=45. Cada litro sale a 3 €.
Para 20 litros, P (20) = 60. El precio sigue siendo de 3 € por litro.
Para 100 litros, P(100) = raíz cuadrada de 42000 = 204,94; el litro sale a 2,05 €.
c) El costo unitario (costo por cada litro si se comparan x litros) vendrá dado por la función:
Cuando x se hace muy grande, el costo unitario tiende a: 
El precio del litro de aceite se va acercando cada vez más a 2€.
fórmula 
donde x indica las horas que lleva en el congelador, se pide: a) ¿Qué temperatura tenía cuando se introdujo?
b) ¿A qué temperatura estará al cabo de 2 horas?
c) ¿A qué temperatura tiende con el paso del tiempo?
RESPUESTA:
a) T (0) = 12/2 = 6°C.
=> T(2) =-26/8 = -3,25°C.
Se proponen las actividades siguientes:
1- Si estimamos que el número de pulsaciones por minuto que es capaz de teclear una persona que aprende mecanografía viene dado por la función
donde x expresa el número de horas de gráfica (x ≥ 0) ,¿ a cuánto tiende el número de pulsaciones cuando x se hace muy grande?
Resp: 350
¿A qué tiende f(x) con el transcurso del tiempo?
Resp: 100
3- El precio de la furgoneta fue de € 25000. Se estima, además, que el costo de uso y mantenimiento es de 0,20 € por km. Determina:
a) La expresión analítica de la función que da el de costo por km dependiendo de los km x recorridos.
b) Si la furgoneta funcionase indefinidamente, ¿a cuánto tendería ese costo? Da una explicación gráfica de ese resultado.
Resp: a) b)
= f(x) 0,20 miércoles, 19 de enero de 2011
ACERTIJO
1) EL PRECIO DE LOS HUEVOS
"Pagué doce centavos por los huevos que compré al almacenero", explicó la cocinera, "pero le hice darme dos huevos extra porque eran muy pequeños. Eso hizo que el total sumara un centavo menos por docena que el primer precio que me dio."
¿Cuántos huevos compró la cocinera?
2) COSTOS CONTRACTUALES
Un contratista abocado a la construcción de una casa descubrió que debía pagar:
$ 1.100 al empapelador y al pintor,
$ 1.700 al pintor y al plomero,
$ 1.100 al plomero y al electricista,
$ 3.300 al electricista y al carpintero,
$ 5.300 al carpintero y al albañil,
$ 2.500 al albañil y al empapelador.
¿Cuánto cobra por sus servivios cada uno de ellos?
3- Una señora se olvida en casa el permiso de conducir. No se detiene en un paso nivel, desprecia una señal de dirección prohibida y viaja tres bloques en dirección contaría por una calle de sentido único. Todo esto es observado por un agente de tráfico, quien, sin embargo, no hace el menor intento de impedírselo. ¿Por qué?
4- Qué hora será, si queda del día la tercera parte de las horas que han pasado?
5- El perro de Juan está atado por el cuello a una cuerda de 3 m de longitud.
¿Cómo podrá alcanzar un sabroso hueso situado a 5m de él?
6- Un ladrillo pesa 2 kg más medio ladrillo. ¿Cuánto pesará un ladrillo y medio?
7- La suma de tres cifras iguales, que no son tres veintes, da como resultado 60.
¿Qué cifras son?
8- ¿Cuánta tierra hay en un agujero de 30x30x30 metros?
9- ¿Cuánto tiempo necesitamos para cocer un huevo duro?
10- ¿Cómo podemos poner 9 caramelos en 4 cajas de forma que cada una tenga un número impar de caramelos y distinto del de cada una de las tres?
11- Dos astronautas suben a la nave y parten hacia el espacio exterior. Llegan al cabo de unos días a su destino, y lo sorprendente es que, sin aterrizar, bajan tranquilamente de la nave, dan un paseo y vuelven a subir a la nave. ¿Cómo han podido hacer tal cosa?
12- Una botella de refresco cuesta 10 euros. El refresco cuesta 9 euros más que la botella. ¿Cuánto cuesta la botella?
13- ¿Qué necesitas para poder cerrar una puerta?
14- Julia llevo al joyero 6 trozos de cadena, cada uno de los cuales tenía 5 eslabones. Quería unir los 6 trozos de cadena para formar una gran cadena circular. Julia preguntó al joyero cuánto le costaría. Éste le contestó que cada eslabón que tuviera que abrir y volver a cerrar le costaría 3n euros. ¿Cuál es el precio mínimo que deberá pagar Julia al joyero para que elabore esa nueva joya?
15- Había 2 caballos orientados en direcciones opuestas: uno miraba directamente hacia el este, y el otro hacia el oeste. ¿Qué tuvieron que hacer para verse uno al otro sin necesidad de caminar, girar, o incluso mover la cabeza?
16- Ana y Gema hicieron a primeros de año una visita a Madrid. Llegaron a la ciudad con solo 30 euros cada uno. No pidieron dinero prestado ni les tocó la primitiva. El día 10 de enero de ese mismo año tenían más de cien mil euros entre las dos. ¿Cómo lo consiguieron?
17- En la cima de la montaña encontramos un sombrero, una bufanda y una zanahoria. Nadie ha tirado estos tres objetos al suelo, pero es totalmente lógico que se encuentren juntos en ese lugar. ¿Cuál es la explicación?
"Pagué doce centavos por los huevos que compré al almacenero", explicó la cocinera, "pero le hice darme dos huevos extra porque eran muy pequeños. Eso hizo que el total sumara un centavo menos por docena que el primer precio que me dio."
¿Cuántos huevos compró la cocinera?
2) COSTOS CONTRACTUALES
Un contratista abocado a la construcción de una casa descubrió que debía pagar:
$ 1.100 al empapelador y al pintor,
$ 1.700 al pintor y al plomero,
$ 1.100 al plomero y al electricista,
$ 3.300 al electricista y al carpintero,
$ 5.300 al carpintero y al albañil,
$ 2.500 al albañil y al empapelador.
¿Cuánto cobra por sus servivios cada uno de ellos?
3- Una señora se olvida en casa el permiso de conducir. No se detiene en un paso nivel, desprecia una señal de dirección prohibida y viaja tres bloques en dirección contaría por una calle de sentido único. Todo esto es observado por un agente de tráfico, quien, sin embargo, no hace el menor intento de impedírselo. ¿Por qué?
4- Qué hora será, si queda del día la tercera parte de las horas que han pasado?
5- El perro de Juan está atado por el cuello a una cuerda de 3 m de longitud.
¿Cómo podrá alcanzar un sabroso hueso situado a 5m de él?
6- Un ladrillo pesa 2 kg más medio ladrillo. ¿Cuánto pesará un ladrillo y medio?
7- La suma de tres cifras iguales, que no son tres veintes, da como resultado 60.
¿Qué cifras son?
8- ¿Cuánta tierra hay en un agujero de 30x30x30 metros?
9- ¿Cuánto tiempo necesitamos para cocer un huevo duro?
10- ¿Cómo podemos poner 9 caramelos en 4 cajas de forma que cada una tenga un número impar de caramelos y distinto del de cada una de las tres?
11- Dos astronautas suben a la nave y parten hacia el espacio exterior. Llegan al cabo de unos días a su destino, y lo sorprendente es que, sin aterrizar, bajan tranquilamente de la nave, dan un paseo y vuelven a subir a la nave. ¿Cómo han podido hacer tal cosa?
12- Una botella de refresco cuesta 10 euros. El refresco cuesta 9 euros más que la botella. ¿Cuánto cuesta la botella?
13- ¿Qué necesitas para poder cerrar una puerta?
14- Julia llevo al joyero 6 trozos de cadena, cada uno de los cuales tenía 5 eslabones. Quería unir los 6 trozos de cadena para formar una gran cadena circular. Julia preguntó al joyero cuánto le costaría. Éste le contestó que cada eslabón que tuviera que abrir y volver a cerrar le costaría 3n euros. ¿Cuál es el precio mínimo que deberá pagar Julia al joyero para que elabore esa nueva joya?
15- Había 2 caballos orientados en direcciones opuestas: uno miraba directamente hacia el este, y el otro hacia el oeste. ¿Qué tuvieron que hacer para verse uno al otro sin necesidad de caminar, girar, o incluso mover la cabeza?
16- Ana y Gema hicieron a primeros de año una visita a Madrid. Llegaron a la ciudad con solo 30 euros cada uno. No pidieron dinero prestado ni les tocó la primitiva. El día 10 de enero de ese mismo año tenían más de cien mil euros entre las dos. ¿Cómo lo consiguieron?
17- En la cima de la montaña encontramos un sombrero, una bufanda y una zanahoria. Nadie ha tirado estos tres objetos al suelo, pero es totalmente lógico que se encuentren juntos en ese lugar. ¿Cuál es la explicación?
martes, 4 de enero de 2011
SOLUCIONES PROPUESTAS EXAMEN "Dic. 2010"
SOLUCIONES de las PROPUESTAS de EXAMEN 2do BACH. “Dic. 2010”
PROPUESTA Nº 1:
1- a) Calculo las combinaciones de 10 en 7 = 120
b) Calculo las combinaciones de 6 en 3 = 20.
2- a)
Usan lentes | No usan lentes | Total | ||
Niños | 280 | 320 | 600 | |
Niñas | 118 | 282 | 400 | |
Total | 398 | 602 | 1000 |
4- a) La opción correcta es ii) 10 , donde debes realizar: P(-2) = -4(-2)3 + 5(-2) – 12,
al resolver las operaciones se obtiene que P(-2) = 10, lo que justifica la respuesta.
b) Determina c, Q (2) = 3(2)3 – 22 + 2c – 3 Q(2) = 7 Q (2) = 24 – 4 + 2c – 3
24 – 4 + 2c – 3 = 7 17 + 2c = 7
2c = 7 – 17 c =-10/2 ⇾ c = -5
La forma factorizada de la función es: f(x) = 1/3(x +3)(x +1)(x -1).
2- a) Ecuación de la recta que pasa por los puntos A(3; 0) y B(-1; -2).
(x – x2) (y – y1) = (x – x1) (y – y2)
( x -0)( y + 1) = ( x – 3) ( y + 2) xy + x = xy + 2x – 3y – 6 por prop. Cancelativa
x – 2x + 3y + 6 = 0
-x + 3y + 6 = 0 ecuación de la recta AB.
b) Recta “t” paralela a AB que pasa por M (2; 1).
-x + 3y + 6 = 0
y = 1/3 x – 2 su paralela es y = 1/3 x + n y pasa por M.
1 = 1/3 (2) + n
1 = 2/3 + n 1 -2/3 = n ⇒ 1/3 = n
y = 1/3 + 1/3 ecuación paralela a la recta AB.
c) Ecuación de la circunferencia coincide con la parte b) del ejercicio 3 de la propuesta Nº 1.
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